" Prizmaticna povrs - Prizma "

 

Neka je ABCDE ravan poligon. Posmatramo pravu koja se krece po konturi poligona ostajuci stalno paralelna pravcu koji nije paralelan ravni poligona, tako nastala povrs zove se prizmaticna povrs. ( sl. 139 ). Prizmaticna povrs je sastavljena od delova ravni ogranicenih paralelnim pravim koje su njene ivice. Svaki od ovih delova ravni je strana ( pqosan ) prizmaticne povrsi. Svaki presek prizmaticne povrci i ravni koja nije paralelna ivicama je poligon ciji je broj stranica jednak broju strana te povrsi. A ravan koja sece prizmaticnu povrs naziva se presecna ravan prizmaticne povrsi.

Ako se prizmaticna povrs presece dvema paralelnim ravnima ( koje nisu paralelne bocnim ivicama ), dobija se telo koje se zove prizma.

Definicija 1. Prizma je geometrijsko telo ograniceno prizmaticnom                   povrsi i dvema paralelnim presecenim ravnima te povrsi.

Svaka od te dve paralelne ravni ima sa prizmaticnom povrsi zajednicki mnogougao, koji se nazivaju osnove prizme. Njihove stranice su osnovne ivice prizme. Znaci, prizma se sastoji od dve paralelne osnove, a ostale strane su paralelogrami. Ovi paralelogrami su bocne strane prizme i zajedno cine bocnu povrs ili omotac prizme. Stranice paralelograma, koje se poklapaju sa ivicama prizmaticne povrsi, nazivaju se bocne ivice prizme, a njihovi preseci sa osnovama su temena prizme. Kod svake prizme bocne ivice su jednake. Bocne strane i osnova zovu se jednim imenom strane prizme. Prema broju stranica osnove, prizma moze biti trostrana,cetverostrana itd. Normalna duz spustena ma iz koje tacke ravni jedne osnove na ravan druge osnove je visina prizme. Ona odredjuje rastojanje izmedju osnova prizme i obicno se obelezava sa H. Duz koja spaja dva temena razlicitih osnova, koja ne pripadaju istoj bocnoj strani, naziva se dijagonala prizme. Presek prizme sa nekom ravni moze biti :

1. Normalan ( ako je ta ravan normalna na bocne ivice prizme,od svih ravnih preseka normalni preseci imaju najmanju povrsinu. )

2. Paralelan ( ako je ta ravan paralelna osnovama )

3. Dijagonalan ( ako ta ravan sadrzi dve nesusedne bocne ivice, svaka prizma ima onoliko dijagonalnih ravni koliko dijagonala ima u mnogouglu osnove)

Prizma je prava kada su bocne strane normalne na osnovu. Visina prave prizme se poklapa sa bocnom ivicom, a bocne strane su pravougaonici. Ako prizma nije prava, kaze se da je kosa. Prava prizma ima za ravan simetrije ravan koja je paralelna osnovama i jednako je udaljena od njih. Dve prave prizme su jednake ako imaju jednake osnove i istu visinu.

Kad prava prizma ima pravilan mnogougao u osnovi, ona je pravilna. Sve bocne strane prave prizme su podudarni pravougaonici. Osa pravilne prizme je prava kroz centre kruznica opisanih oko njenih osnova.

    • Neka je ABCDEF A`B`C`D`E`F` pravilna prizma. Prava koja spaja centre O i O` osnova je paralelna svim bocnim ivicama i OO`=AA`. Duz OO` se moze uzeti za visinu prizme. Neka je n broj ivica jedne osnove. Ako se prizma obrne oko OO` za ugao jednak 2p / r, tada A dolazi u tacku B, B u tacku C, ..., isto tako A` dolazi u B`, B` u C`, ... prizma se se poklopiti sa svojim pocetnim polozajem. Tada se kaze da je OO` osa obrtanja reda n.

Prizma je jednakoivicna, kada su joj sve ivice jednake. Ako se prizmaticna povrs presece dvema neparalelnim ravnima koje se ne seku unutar te prizmaticne povrsi, dobijeno telo se naziva koso zatesana prizma ( prizmatoid ). Bocne strane takve prizme su trapezi. Izuzetno mozemo imati ovakve slucajeve :

      • dve susedne bocne strane su trouglovi ako se ravni osnova seku na jednoj bocnoj ivici
      • jedna bocna strana se svodi na odsecak prave a dve susedne strane su trouglovi ako se ravni osnova seku na dvema uzastopnim bocnim ivicama

Paralelopiped je prizma cija je osnova paralelogram. Paralelopiped ima 8 temena, 12 ivica i 6 strana. cetiri bocne strane su paralelogrami kao kod svake prizme, osnove su paralelogrami po definiciji, prema tome sve strane su paralelogrami. Dvanaest ivica obrazuju tri sistema od po cetiri jednake i paralelne ivice. Sest strana obrazuju tri para medjusobno jednakih i paralelnih strana, dve strane cije su ravni paralelne zovu se suprotne strane. Za osnove se mogu izabrati bilo koje dve suprotne strane, ostale cetiri strane pripadaju prizmaticnoj povrsi. Paralelopiped se dakle moze definisati kao prizma na tri razlicita nacina. Dve paralelne ivice koje ne pripadaju istoj strani zovu se suprotne ivice, npr. AD i B`C` su dve suprotne ivice. Dva temena koja ne pripadaju istoj strani zovu se suprotna temena. Postoje cetiri para suprotnih temena : A i C`, B i D`, C i A`, D i B`. Paralelopiped ima cetiri dijagonale : AC`, BD`, CA`, DB`.

Teorema : Sve dijagonale paralelopipeda se uzajamno polove.

    • Neka je T sredina ma koje dijagonale, npr. dijagonale BD` i neka je AC` neka druga dijagonala, odsecci AB i D`C`, bocne ivice, jednaki su i paralelni, ravna figura ABC`D` je dakle paralelogram i dijagonala ovog paralelograma AC` polovi drugu dijagonalu BD` u tacki T. Presek dijagonala je centar simetrije paralelopipeda. Prema definiciji prave prizme, prav paralelopiped je paralelopiped cije su bocne ivice normalne prema ravni osnove, obe osnove su paralelogrami, cetiri bocne strane su pravougaonici. Pravougli paralelopiped ili kvadar je prav paralelopiped cija je osnova pravougaonik. Sest strana su dva po dva podudarna prvougaonika. Ivice koje polaze iz istog temena obrazuju pravougli triedar, a njihove duzine predstavljaju tri dimenzije paralelopipeda ( duzinu, sirinu i visinu ili debljinu ili dubinu ). Pravougli paralelopiped se moze posmatrati kao prav, bez obzira koje se dve njegove suprotne strane uzimaju za osnove.
    • Neka je ABCDEFGH pravougli paralelopiped. On je odredjen svojim dimenzijama, tj. duzinama koje polaze iz istog temena. Te tri dimenzije su : AB=a, AD=b, AC=c.

Izracunajmo dijagonalu AG. Trougao ACG je pravougli, sa pravim uglom u temenu C.

Isti rezultat se dobija za sve cetiri dijagonale. Pravougli peralelopiped ima cetiri jednake dijagonale. Presecna tacka dijagonala je na jednakom rastojanju od svih osam temena. Ugao izmedju bilo koje dve susedne ivice kvadra je prav. Pravougli paralelopiped cije su sve tri dimenzije jednake i sve strane jednaki kvadrati zove se kocka. Ona ima 6 strana koje su medjusobno jednaki kvadrati i 12 jednakih ivica. Prave koje prolaze kroz centre dveju suprotnih strana su ose obrtanja reda 4. Ako je a ivica kocke, tada je, s obzirom na predhodnu formulu za pravougli paralelopiped, duzina dijagonale jednaka .

Mreza kocke sastoji se od 6 kvadrata stranice a.

    • Neka je data kocka ABCDEFGH ivice a. Dijagonala AG ima duzinu .

    • Dijagonala kocke i dijagonala jedne strane, npr. BD, projektuju se horizontalno u dve medjusobno normalne duzi. Posto je BD horizontalna prava, prave AG i BD su ortogonalne. Istovremeno, dijagonala AG je normalna na BE, DE, FC, CH, HF i normalna je na ravni DEB i HFC. Ona prodire sve ravni u tackama K i I. Podnozja kosih medjusobno jednakih duzi AB, AE i AD jednako su udaljene od podnozja normale AK, i K je centar jednakostranicnog trougla DEB. Analogno se zakljucuje da je I centar jednakostranicnog trougla HFC. Jednaki i paralelni odsecci GH, FE i BA ortogonalno se projektuju na AG u odgovaraju}e medjusobno jednake odsecke GI, IK i KA. Dijagonala AG je dakle, podeljena tackama K i I na tri jednaka dijela.

Za sve prizme vazi naredna teorema :
    • Svaki ravan presek prizme paralelan osnovama je mnogougao podudaran osnovnim mnogouglovima. Naime presek ce imati jednake stranice kao naspramne stranice paralelograma, a jednake uglove kao uglove sa paralelnim kracima.

Primer 1 :Kocka ivice 1m presecena je sa ravni koja sadrzi dijagonalu donje osnove i prolazi kroz srediste jedne od gornjih osnovnih ivica. Odredi povrsinu preseka.

 

Primer 2 :Osnovne ivice a i b pravog paralelopipeda obrazuju ugao od 600. Izracunati dijagonale paralelopipeda ako je bazna ivica geometrijska sredina osnovnih ivica.

 
             

                                                       

                

Primer 3 :Osnova prave prizme je trougao sa stranicama duzine 10 cm, 17 cm i 21 cm. Kroz najvecu stranicu osnove i srediste naspramne bocne ivice prizme postavljena je ravan. Izracunaj povrsinu dobijenog preseka ako je visina prizme H=30 cm.