Prvi tip zadataka koji se javljaju kod problema sa limesima jesu zadaci kod kojih moramo da koristimo racionalizaciju.
Zadatak 1:
Ako bismo uvrstili x=1 dobili bismo nula kroz nula, a znamo da se ne može dijeliti sa nulom. Zato vršimo racionalizaciju:
Kada vidimo u zadatku nakon racionalisanja da postoje izrazi koji daju 0, i ako imamo šta da skratimo onda skraćujemo razlomak:
Kada dobijemo izraze u razlomku koji su mogući kada uvrstimo x=1, tj. kada ne dobijamo 0, uvrštavamo x i dobijamo konačan rezultat:
Zadatak 2:
Ovaj zadatak radimo na sličan način kao i prethodni. Dakle prvo racionalizacija, sve dok prilikom uvršavanja broja kojem x teži ne dobijemo konačan rezultat.
Drugi tip zadataka su zadaci prilikom čije izrade koristimo limese do kojih smo došli eksperimentalno.
Zadatak 1:
Vrijednost ovog limesa je , zato
nastavljamo dalje dok ne dobijemo konačan rezultat. Najjednostavniji način
izrade je ako izvučemo x ispred zagrade, ili podijelimo i brojilac i imenilac sa
x:
(Izraz 1/x ima vrijednost 0, tako
da je rezultat ovog zadatka 1.)
Zadatak 2:
I ovaj zadatak radimo na isti način kao i predhodni, dakle izvući ćemo x ispred zagrade s cilje da dobijemo n/x i tako riješimo zadatak:
Sljedeći limes do kojeg smo došli eksperimentalno je .
Zadatak 1:
Ovaj zadatak ćemo uraditi tako što ćemo i brojilac i imenilac pomnožiti sa 4 da bismo dobili odgovarajuću vrijednost x i gore i dole:
Kada smo dodali 4 i gore i dole prepoznali smo
koje je eksperimentalni limes i ima
vrijednost 1. I ostala nam je 4.
Zadatak 2:
Važno je napomenuti da zadaci kao što je ovaj zahtijevaju poznavanje trigonometrijskih funkcija.
Zadatak 3:
Ovdje ćemo prvo uvesti smjenu: , pa
kad
, onda
, dakle
.
(Prema trig. formulama
)
Sljedeći limesi do kojih smo došli eksperimentalno su:
i
.
Zadatak 1:
Ovdje gdje je 3 mora biti 1, tako da ćemo 3 "spustiti" ispod x.
Sljedeći korak je da kod x u eksponentu pomnožimo i podijelimo sa 3.
Zadatak 2:
Da bismo sebi olakšali u zagradi ćemo dodati i oduzeti 1.
Zadatak 1: Odrediti asimptote funkcije
.
Prvo ćemo odrediti vertikalnu asimptotu, ali prije toga moramo da odredimo domen ove funkcije.
Vertikalna asimptota postoji ako postoji tačka u kojoj funkcija nije definisana. A mogu da postoje i više tačaka u kojima funkcija nije definisana.
Ako posmatramo našu funkciju , ona
nije definisana kada je x=2. I zato ćemo ispitati njeno ponašanje u okolini ove
tačke.Prvo ćemo posmatrati ovu tačku kada joj se približavamo sa lijeve strane,
a to zapisujemo 2-0 ili 2-.
Sada ćemo ispitati njeno ponašanje kada joj se približavamo sa desne strane, a to zapisujemo 2+0 ili 2+.
I naš zaključak je da funkcija ima
vertikalnu asimptotu x=2.
Sljedeći korak je da ispitamo ima li naša funkcija kosu asimptotu. Ako nema kosa, onda postoji horizontalna.
Opšta formula kose asimptote je y=kx+n.
Vrijednost k koje smo dobili koristimo pri računanju n.
I dobili smo da kosa asimptota glasi y=x-3
Znaćemo ako prilikom računanja nemamo k, a imamo n. Onda je horizontalna asimptota y=n. Najlakše nam je da prvo pronađemo vertikalnu asimptotu, ako postoji, te tražimo kosu asimptotu. Ako kosa asimptota nema k, a ima n, onda imamo horizontalnu. Funkcija ne može da ima i horizontalnu i kosu asimptotu u isto vrijeme.
Da bismo koristili ovo pravilo, neophodno je poznavanje tablice izvoda. Ako nju znamo, nećemo imati problema sa ovim zadacima.
Zadatak 1:
Ovaj eksperimentalni limes lako ćemo izraćunati pomoću Lopitalovog pravila.
Zadatak 2:
Kod ovog zadatka ćemo morati da koristimo Lopitalovo pravilo dva puta. Ali mi
možemo da koristimo ovo pravilo dok god ne prestanemo da dobijamo neodređene
oblike ili
.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |