OBRTNA POVRŠ, SFERA I LOPTA

Sfera je skup svih tačaka u prostoru koje se nalaze na jednakom rastojanju od jedne utvrđene tačke (sl. 1). Ta utvrđena tačka je centar sfere. Rastojanje ma koje tačke sfere od centra naziva se poluprečnik sfere. Duž koja spaja dvije tačke sfere je njena tetiva.
Sfera dijeli proctor na dva dijela – na svoju unutrašnju oblast, koju sačinjavaju sve one tačke čija su rastojanja manja od polupračnika sfere, in a svoju spoljašnjost, koju sačinjavaju sve one tačke čija su rastojanja od centra veća od poluprečnika sfere.
Sfera, zajedno sa svojom unutrašnjom oblasti, sačinjava loptu.
Ravan koja sadrži unutrašnju tačku sfere siječe tu sferu po kružnoj liniji i dijeli je na dvije kalote, a odgovarajuću loptu na dva loptina odsječka (sl. 2). Dio lopte između dva paralelna kruga naziva se loptin sloj, pojas ili zona (sl. 3).

sl. 1    sl. 2   sl. 3    ↑

 ZAPREMINA LOPTE

Neka je L lopta poluprečnika r. Izračunajmo zapreminu odgovarajuće polulopte L1 čija je osnova krug K poluprečnika r. U ravni kruga K konsturišemo krug K1 podudaran sa krugom K i valjak Σ čija je osnova K1 a visina r. Neka je β kupa čiji je brh centar kruga K1, a osnova joj se poklapa sa gornjom osnovom valjka Σ. Ako se iz valjka Σ izvadi kupa β, dobija se tijelo T čija je zaprmeina jednaka zapremini polulopte L1.
Zaista, bilo koja ravan α paralelna ravni u kojoj su krugovi K i K1 i na rastojanju r-h od nje (0<h<r)  siječe poluloptu L1 po krugu Kh  a tijelo T po kružnoj prstenastoj površi Ph . Dokažimo das u površine ovih presjeka jedanke, tj. da je S(Kh)=S(Ph)
                                                                                                                                                                                  

Na prvom mjestu, uz poomć Pitagorine teoreme, za poluprečnik x kruga Kh  važi
r²-(r-h)² = x²= 2rh -h² , pa je:
S(Kh)  = π(2rh - h²) .
Površina prestenaste površi Ph  jednaka je razlici površina odgovarajućih krugova. Veći krug ima površinu π r². Dalje, poluprećnik manjeg kruga je r-h, pa je:
 S(Ph) = πr²  – π(r-h) ²= π(2rh - h²) .
Prema tome, na osnovu Kavalijerijevog principa zaključujemo da je: V(L1) = V(T).
V(T) = V(Σ) – V(β) = π r²*r - 1/3 πr² *r =2/3 π r³ .
To je zapremina polulopte L1. Prema tome zapremina lopte L je:                                                          ↑
V =4/3πr² .

ZAPREMINA LOPTINOG ODSJEČKA

Istim postupkom dolazi se do formule za zapreminu loptinog odsječka. Naime, loptin odsječak L′  visine h ima istu zapreminu kao tijelo Th  koje se dobija kad se iz valjka Σh  visine h i poluprečnika osnove r izvadi zarubljena kupa βh  iste visine h, čiji su poluprečnici osnova r i r-h. Kako je:
V(Σh) = πr²h i V(βh ) = π/3 ( r²+ r(r-h) +(r-h)² )h,
poslije kraćeg računa dobija se:                                                                                                                      ↑
V(L′ ) = π h²(r -h/3 ) .

ZAPREMINA LOPTINOG ISJEČKA

Neka je r poluprečnik lopte, a h visina odsječka koje odgovara posmatranom isječku i neka je h < r . U tom slučaju zapremina V(F) isječka F je: V(F) = V1 + V2, gdje je V1 zapremina odsječka visine h, a V2 zaprmeina kupe. Imamo, dakle: V1 = 1/3πh²(3r-h), V2=1/3 πa² (r-h).
Iz pravouglog trougla OAS dobija se:
a²=r²- (r-h)² , tj. a² = 2rh -h , pa je:

V2 = 1/3 π(2rh - r² )(r – h) =1/3 πh(2r – h)(r – h). Stoga se za zapreminu loptinog isječka F dobija:
V(F) = V1 + V2 = 1/3 πh(3rh - h²  + 2r² - 2rh – rh + h² )                                        
V(F) =2/3 πr² h.                                                                                                                                                                                                    ↑

POVRŠINA LOPTE I KALOTE

Izvođenje ovih formula je isuviše težak i zahtjevan posao, pa ćemo samo navesti odgovarajuće formule:
površina lopte- S(L) = 4π r²
površina kalote- S(K) = 2 πrh.                                                                                                                          ↑

PRIMJERI

1. U lopti poluprečnika r upisana je kupa, čija je visina jednaka poluprečniku osnove.Izračunati površinu i zapreminu kupe.

2. U pravu kupu izvodnice s=50 i poluprečnika R=30 upisana je lopta. Odrediti u kom odnosu stoje njihove površine i zapremine.                                                                                                                                                ↑

   REŠENJA3.docx