abc Matlab - elektronski priručnik
III dio Matematika u Matlabu - 3.1. Linearna algebra

3.1.2. Sistemi linearnih jednačina
3.1.2.1. Računska razmatranja

Jedan od najvažnijih problema u tehničkom računarstvu je rješavanje sistema simultanih linearnih jednačina.

U matričnoj notaciji, opšti problem ima sljedeću formu: Ako su date dve matrice A i b, da li postoji jedinstvena matrica  x, tako da je  Ax = b ili  xA = b?

Instruktivno je razmotriti 1-sa-1 primjer. Na primjer, da li jednačina
7x = 21
ima jedinstveno rješenje?

Odgovor je, naravno, da. Jednačina ima jedinstveno rješenje x = 3. Rješenje se lako dobija dijeljenjem:
x = 21/7 = 3.

Do rješenja se obično ne dolazi računanjem recipročne vrijednosti od 7, tj. 7–1 = 0.142857..., a onda množenjem 7–1 sa 21. Tu bi bilo više posla i, ako je 7–1 predstavljeno konačnim brojem cifara, bilo bi manje tačno. Slična razmatranja se primjenjuju na skupove linearnih jednačina sa više od jedne nepoznate; Matlab softver rješava takve jednačine bez računanja inverzne matrice.

Iako to nije standardna matematička notacija, Matlab koristi terminologiju dijeljenja poznatu u slučaju skalara da opiše rješenje opšteg sistema simultanih jednačina. Dva simbola za dijeljenje, slash, /, i backslash, \, odgovaraju dvama Matlab funkcijama mrdivide i mldivide. mrdivide i mldivide se koriste za dve situacije gdje se nepoznata matrica javlja na lijevoj ili desnoj strani matrice koeficijenata:

x = b/A                                   Označava rješenje matrične jednačine xA = b.
x = A\b                                   Označava rješenje matrične jednačine Ax = b.

Razmislimo o “dijeljenju” obiju strana jednačine Ax = b ili xA = b sa A. Matrica koeficijenata A je uvijek u “nazivniku”.

Uslovi kompatibilnosti dimenzija za x = A\b zahtijevaju da dve matrice A i b imaju isti broj redova. Rješenje x tada ima isti broj kolona kao i b a njegove dimenzije reda su jednake dimenzijama kolona od A. Za x = b/A, uloge redova i kolona su zamijenjene.

U praksi, linearne jednačine oblika Ax = b javljaju se češće nego one oblika xA = b. Konsekventno, backslash se koristi daleko češće nego slash. Nadalje ćemo se koncentrisati na backslash operator; odgovarajuće osobine slash operatora mogu se izvesti iz identiteta:

(b/A)' = (A'\b').

Matrica koeficijenata A ne mora biti kvadratna. Ako je A m-sa-n, postoje tri slučaja:
m = n                          Kvadratni sistem. Traži se egzaktno rješenje.
m > n                          Predeterminisani sistem. Naći rješenje najmanjih kvadrata.
m < n                          Poddeterminisani sistem. Naći osnovno rješenje sa najviše m nenultih   komponenti..

Matrice u Matlab okruženju - Upotreba višenitnih (multithread) izračunavanja kod funkcija linearne algebre    <    Index    >    Sistemi linearnih jednačina - Algoritam mldivide