Dekart poistovećuje intuiciju sa prirodnim prosvećenjem koje je prisutno u svakom od nas, dok je dedukacija ''sve ono što se neophodno i izvesno zaključuje o nekim drugim poznatim stvarima. Dedukacija se razlikuje od intelektualne intuicije u tome što zahteva neku ''vrstu kretanja ili poretka''. Za spoznaju stvari nude nam se dva puta, iskustvo i dedukacija. Iskustvo na koje se Dekart poziva je u konkretnom i globalnom smislu. Kad sam u toku saznavanja, ono što se odražava u mojoj svesti prizilazi u isto vreme iz spoljašnje stvarnosti i iz mog gledanja na to. Iskustva su često varljiva zbog svoje strukture. Pred objektivnim i subjektivnim komponentama ne mogu da odlučim šta pripada spoljnoj stvarnosti a što potiče iz moje akcije. Prosto izviđenje zaključaka iz opštih razmišljanja – dedukcija nikad ne vara. Valjanost dedukcije jamči njena jednostavnost. Pošto greške nikad ne mogu da proizađu iz dedukcija (ako je prihvatam, dedukcija je neizostavno dobra; ako ne znam za nju, tada i nema praktične vrednosti) već samo iz loše shvaćenog iskustva ili iz prebrzih sudova, upravo se aritmetika i geometrija nameću kao oblik naučnosti. S jedne strane, njihov predmet je čist i jednostavan, s druge, tu se samo izvode posledice prema racionalnoj dedukciji. Ako se ne radi samo o aritmetičkom i geometrijskom proučavanju…''oni koji traže pravi put istine'' treba da se zanimaju predmetima gde mogu dostići izvesnost jednaku onoj u aritmetici i geometriji.Dekart nastoji da izdvoji uslove aritmetičkih i geometrijskih mogućnosti i izlaže ''univerzalnu matematiku'', nauku poredka i mere. Ova nauka sadrži ''prve rudimente ljudskog razuma''i čini da ''izviru istine iz bilo kojeg problema''. Ona je izvor svih drugih spoznaja. Kartezijanski red zamenjuje kvalifikaciju pojma ili stvari u okviru Aristotelovih kretanja kojima se služila sholastika. Matematička inspiracija, zasnovana je zavisnosti ideja u toku dedukcije. Ideje su raspoređene prema linearnim nizovima. Uzmimo iz bilo kog niza dve ideje: od dve ideje, ona što predhodi drugoj nazvana je apsolutnom ili jednostavnom, druga je označna kao relativna ili složena. Otud je pojam apsolutnog i sam relativan. Od apsolutno prostog potoje samo proste prirode, tj. ideje koje ne zavise ni od koje druge, premda sve druge proizlaze iz njih. Pojam apsolutnog ovde ne sadrže nikakvu metafizičku aluziju ali treba da se shvati u perspektivi neke vrste ''genealogije saznanja'' gde saznanje-majka postoji pored saznanja-ćerke. Kartizijanska kritika još uvek se razvija samo na naučnom nivou: jedinstvo nauka je zasnovano na identitetu ljudskog duha. Univerzalna matematika nije podređena redukciji materije na puki homogen kvalitet i ne zasniva se na monističkoj ontologiji. Valjanost nauke postavlja neraskidive veze između života i misli. Cogito ergo sum (Mislim, dakle postojim) se javlja kao vrhunski stav čovekovog poimanja samog sebe i svog postojanja: ova izvesnost se ograničava na samu sebe, ali u toj izvesnosti o sopstvenom ja je i ideja o postojanju savršenog bića ili Boga. Dekartovsku teologiju ne treba posmatrati kao cilj po sebi, Bog je uveden samo zato da bi se proširila izvesnost misli i postojanje spoljašnjeg sveta. Bog je Dobro i mi možemo biti sigurni da se ne varamo kad nešto tvrdimo na osnovu jasnog i sigurnog uvida. Tako matematičar može biti siguran u zaključke koje je doneo samo ako je vodio računa da mu predstava o svakom beočugu misli bude jasna. Jedna razgovetna predstava o spoljašnjem svetu jeste predstava o protegnutosti ili prostornost, predstava koja je predmet geometrije. Dekartov stav da se prostornost i materija identični predstavlja osnovi njegove fizike. Dekartovi savremenici iz kartezijanstva su prihvatili učenje po kome su strasti, naročito ljubav, liše samo onda kad izmaknu kontroli razuma, na čemu se temelji uverenje o čovekovoj slobodi u odnosu na strasti. Kartezijanska logika je još dublje obeležila francusku misao, ističući potrebu za jasnoćom i jedinstvom, strogošću i merom.
Dekart kao matematičar
Dekart je osnivač analiričke geometrije: u svom, veoma originalnom delu Geometrija daje najpre geometrijsko značenje za četiri elementarne aritmetičke operacije i vađenje kvadratnog korena. Ustanovljenje da je euklidska geometrija zasnovana na aritmetičkoj strukturi, na strukturi realnih brojeva. Njegov jezik zaista nema one preciznosti koje mi danas koristimo, ali je on, malo-pomalo doprineo stvaranju oblasti koja će se oko godine 1800 nazvati analitičkom geometrijom. Pomoću svojih novih metoda mogao je da razmotri jedan problem Papusa Aleksandriskog (III v.) koji mu je predložio matematičar i orjentalista Golijus (Jacobson Golius ili Gool, 1596-1667): ''Neka su date dve grupe po n pravih, naći mesto takvih tačaka u ravni da je proizvod njihovih rastojanja od pravih prve grupe u datom odnostu sa proizvodom njihovih rastojanja od pravih druge grupe''. Ako ima ukupno četiri prave, mesto je konusni presek. Za više od četiri prave stare metode bile su nemoćne. Dekart rešava problem algebarskim slovnim računom, gde usvaja najbolje oznake svog vremena, usavršava ih i sistematizuje. Ovaj način pisanja Dekart je uspeo da nametne naučnom svetu i on se u suštini i danas koristi. S druge strane, Dekart pozajmljuje od Apolonija iz Perge (kraj III i početak II v.pre n.e.) reper referencije koji obrazuju početna tačka, osa apscisa koja izlazi iz ove tačke i jedan stalni pravac za ordinate. Dve koordinatne ose, nazvane ''kartezijanske'', potiču iz ovog postupka. Papusov problem dovodi tako da se traženo mesto izrazi algebarskom relacijom između koordinata svake tačke. P (x,y) = 0, gde je P polinom. Dekart je odlučio da nazove geometrijskom krivom (sada algebarska kriva) svaku krivu koja u odnosu na katezijanski reper daje mesto jednačini ovakvog tipa. On inače izjednačava ''geomerijske'' krive sa onima što se mogu povući pomoću ''šestara'' sastavljenog od dva vezana štapića. Tačnost ove hipoteze ustanovio je tek 1876. engleski matematičar Kemp (Alfred Bray Kempe, 1849-1922). Samo ''geometrijske'' krive Dekart je primio u svoju geometriju. Ostale krive nazvane su mehaničke, a od Lajbnica transcendentne. U ovu vrstu Dekart svrstava Arhimedovu (287-212. pre.n.e) spiralu, Dinostratovu (IV v.pre n.e.) kvadratisu, logaritamsku krivu koju je, kao jedan od prvih shvatio oko 1618, logaritamsku spiralu i cikloidu Robervala (Gilles Personier de Roberval, 1602-1675).
On postavlja tangente na geometrijske krive dosta naučnom metodom za koju se inspirisao optičkim problemima ali koju je uskoro zamenio Dekartov takmac Ferma. U svojoj prepisci Dekart daje konstrukciju tangente na cikloidi korišćenjem trenutnog centra rotacije, što je jedno od njegovih otkrića. Dekartova Geomerija sadrži jednu valjanu teoriju rešenja algebarskih jednačina, gde postavlja sledeći pristup: ''Broj korena jednak je stepenu jednačine''. Neki od ovih korena mogu biti ''imaginarni''. Među realnim, neki su lažni (negativni). Broj pozitivnih korena jednak je broju varijacija znakova koeficijenata. Knjiga se završava grafičkom konstrukcijom korena nekih jednačina pomoću preseka krivih. Ovo je jedino Dekartovo delo posvećeno čistoj matematici. Drugi prilozi u ovom domenu nalaze se u njegovoj prepisci. U teoriji brojeva inferioran je u odnosu na Fermau ali daje dokaze velike umešnosti. U analizi zna koliko i napredni savremenici, da integriše monome i nalazi kvadraturu raspona cikloide, nezavisno od Robervala i Ferma. Dao je rešenje problema (koji je postavio njegov prijatelj): ''Naći krivu kad se zna izvesna osobina tangenata''. Ovaj problem spada u integralni račun i vodi ka logaritamskoj krivoj. Dokazi Dekartovog predznanja sadržani su i u sledećoj njegovoj tvrdnji: ''Izvesne veličine su obuhvaćene u jednačinama i izražavaju se nekim znacima; jednačina koja ih sadrži jedan je način da ih izrazi. Ali, ima beskonačno mnogo drugih koje ne mogu biti obuhvaćene u jednačinama i ima ih koje ne mogu biti izražene (radikalima) izvan jednačine''. On razlikuje i algebarske brojeve od transcedetalnih i uviđa nemogućnost rešenja radikalima većeg dela algebarskih jednačina.Kao matematičar, Dekart je za života uticao samo na holandske matematičare ali je njegov uticaj kasnije bio osetan kod Lajbnica i Njutna.
